Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）若，二面角A₁-AB₁-D平面角的大小为θ，求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接A₁B交AB₁于E点，根据三角形的中位线定理，我可DE∥BC₁，再由线面平行的判定定理，即可得到直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）过D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面A₁ABB₁，过M作MN⊥AB₁于N，连接DN，则∠MND为二面角A₁-AB₁-D的平面角θ，解三角形DMN即可求出二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值．
解答：解：（1）证明：连接A₁B交AB₁于E点，（1分）
在平行四边形ABB₁A₁中，
有A₁E=BE，又A₁D=DC₁（3分）
∴DE为△A₁BC₁的中位线，从而DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D
∴直线BC₁∥平面AB₁D；                           （5分）
（2）过D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面A₁ABB₁，过M作MN⊥AB₁于N，连接DN，则∠MND为二面角A₁-AB₁-D的平面角θ，（7分）
∵，
∴，，
过A₁作A₁F⊥AB₁于F，则，（10分）
∴．                                         （12分）
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得DE∥BC₁，（2）的关键是确定∠MND为二面角A₁-AB₁-D的平面角θ．