题目内容
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都等于a,E是BB1的中点.(1)求直线C1B与平面A1ABB1所成角的正弦值;
(2)求证:平面AEC1⊥平面ACC1A1;
(3)求点C1到平面AEC的距离.
分析:(1)由题意取A1B1中点M,再证明C1M⊥平面A1ABB1,即∠C1BM是所求的角,在Rt△BMC1中求解;
(2)取A1C1的中点D1,AC1的中点F,再证D1FEB1是平行四边形和B1D1⊥平面ACC1A1,即得EF⊥平面ACC1A1,故证出面面垂直;
(3)由(2)知EF是三棱锥E-ACC1的高,求出EF的长,再利用换低公式和体积相等求出点C1到平面AEC的距离.
(2)取A1C1的中点D1,AC1的中点F,再证D1FEB1是平行四边形和B1D1⊥平面ACC1A1,即得EF⊥平面ACC1A1,故证出面面垂直;
(3)由(2)知EF是三棱锥E-ACC1的高,求出EF的长,再利用换低公式和体积相等求出点C1到平面AEC的距离.
解答:(1)解:取A1B1中点M,连接C1M,BM.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴C1M⊥A1B1,C1M⊥BB1.
∴C1M⊥平面A1ABB1.
∴∠C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角.
在Rt△BMC1中,C1M=
a,BC1=
a,
∴sin∠C1BM=
=
.
(2)证明:取A1C1的中点D1,AC1的中点F,连接B1D1、EF、D1F.
则有D1F
AA1,B1E
AA1.
∴D1F
B1E.
则四边形D1FEB1是平行四边形,
∴EF
B1D1.
由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴B1D1⊥A1C1.
又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1,且B1D1?平面A1B1C1,
∴B1D1⊥平面ACC1A1,∴EF⊥平面ACC1A1.
∵EF?平面AEC1,∴平面AEC1⊥平面ACC1A1.
(3)由(2)知,EF⊥平面AC1,则EF是三棱锥E-ACC1的高.
由三棱柱各棱长都等于a,则EC=AE=EC1=
a,AC1=
a.
∴EF=
=
a.
∵V_C1-AEC=V_E-ACC1,设三棱锥V_C1-AEC的高为h,则h为点C1到平面AEC的距离.
则
S△AEC•h=
S_△ACC1•EF,
即
×
a2h=
×
a2•
a.
∴h=
a,即点C1到平面AEC的距离是
a.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴C1M⊥A1B1,C1M⊥BB1.
∴C1M⊥平面A1ABB1.
∴∠C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角.
在Rt△BMC1中,C1M=
| ||
2 |
2 |
∴sin∠C1BM=
C1M |
BC1 |
| ||
4 |
(2)证明:取A1C1的中点D1,AC1的中点F,连接B1D1、EF、D1F.
则有D1F
∥ |
. |
1 |
2 |
∥ |
. |
1 |
2 |
∴D1F
∥ |
. |
则四边形D1FEB1是平行四边形,
∴EF
∥ |
. |
由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴B1D1⊥A1C1.
又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1,且B1D1?平面A1B1C1,
∴B1D1⊥平面ACC1A1,∴EF⊥平面ACC1A1.
∵EF?平面AEC1,∴平面AEC1⊥平面ACC1A1.
(3)由(2)知,EF⊥平面AC1,则EF是三棱锥E-ACC1的高.
由三棱柱各棱长都等于a,则EC=AE=EC1=
| ||
2 |
2 |
∴EF=
AE2-AF2 |
| ||
2 |
∵V_C1-AEC=V_E-ACC1,设三棱锥V_C1-AEC的高为h,则h为点C1到平面AEC的距离.
则
1 |
3 |
1 |
3 |
即
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
| ||
2 |
∴h=
| ||
2 |
| ||
2 |
点评:本题考查了用面面垂直的性质定理作出线面角再来求解,用面面垂直的判定定理证明面面垂直,求点到面的距离可用体积相等和换底求解;考查了转化思想和推理论证能力.
练习册系列答案
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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )
A、2 | ||
B、
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C、
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D、
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