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精英家教网如图,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都等于a,E是BB1的中点.
(1)求直线C1B与平面A1ABB1所成角的正弦值;
(2)求证:平面AEC1⊥平面ACC1A1
(3)求点C1到平面AEC的距离.
分析:(1)由题意取A1B1中点M,再证明C1M⊥平面A1ABB1,即∠C1BM是所求的角,在Rt△BMC1中求解;
(2)取A1C1的中点D1,AC1的中点F,再证D1FEB1是平行四边形和B1D1⊥平面ACC1A1,即得EF⊥平面ACC1A1,故证出面面垂直;
(3)由(2)知EF是三棱锥E-ACC1的高,求出EF的长,再利用换低公式和体积相等求出点C1到平面AEC的距离.
解答:(1)解:取A1B1中点M,连接C1M,BM.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴C1M⊥A1B1,C1M⊥BB1
∴C1M⊥平面A1ABB1
∴∠C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角.
在Rt△BMC1中,C1M=
3
2
a,BC1=
2
a,
∴sin∠C1BM=
C1M
BC1
=
6
4
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(2)证明:取A1C1的中点D1,AC1的中点F,连接B1D1、EF、D1F.
则有D1F
.
1
2
AA1,B1E
.
1
2
AA1
∴D1F
.
B1E.
则四边形D1FEB1是平行四边形,
∴EF
.
B1D1
由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴B1D1⊥A1C1
又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1,且B1D1?平面A1B1C1
∴B1D1⊥平面ACC1A1,∴EF⊥平面ACC1A1
∵EF?平面AEC1,∴平面AEC1⊥平面ACC1A1
(3)由(2)知,EF⊥平面AC1,则EF是三棱锥E-ACC1的高.
由三棱柱各棱长都等于a,则EC=AE=EC1=
5
2
a,AC1=
2
a.
∴EF=
AE2-AF2
=
3
2
a.
∵V_C1-AEC=V_E-ACC1,设三棱锥V_C1-AEC的高为h,则h为点C1到平面AEC的距离.
1
3
S△AEC•h=
1
3
S_△ACC1•EF,
1
3
×
1
2
a2h=
1
3
×
1
2
a2
3
2
a.
∴h=
3
2
a,即点C1到平面AEC的距离是
3
2
a.
点评:本题考查了用面面垂直的性质定理作出线面角再来求解,用面面垂直的判定定理证明面面垂直,求点到面的距离可用体积相等和换底求解;考查了转化思想和推理论证能力.
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