Question

设F₁，F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=α，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线的方程可得焦点坐标，运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，化简整理，可得PF₁•PF₂=

2b2

1-cosα

，再由三角形的面积公式和二倍角公式以及同角的商数关系，计算即可得到面积．

解答： 解：由双曲线方程可得F₁（-c，0），F₁ （c，0），
由双曲线的定义可得，|PF₁-PF₂|=2a，
由余弦定理可得，F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cosα
=（PF₁-PF₂）²+2PF₁•PF₂（1-cosα）=4a²+2PF₁•PF₂（1-cosα）=4c²，
∴PF₁•PF₂=

2(c2-a2)

1-cosα

=

2b2

1-cosα

．
则△F₁PF₂的面积S=

1

2

PF₁•PF₂sinα=

1

2

•

2b2

1-cosα

•sinα=b²•

2sin α 2 cos α 2

2sin2 α 2

=b²cot

α

2

．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF₁•PF₂的值是解题的关键．