Question

1．给出下列命题：
①将函数y=cos（x+$\frac{3π}{2}$）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），再向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象；
②设随机变量ξ-N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6-a）=0.7
③（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$）¹⁰的二项展开式中含有x^-1项的二项式系数是210；
④已知数列{a_n}为等差数列，且a₂₀₁₃+a₂₀₁₅=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，则a₂₀₁₄•（a₂₀₁₂+2a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）的值为4π²．
其中正确的命题的个数为（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①根据三角函数的图象关系进行判断．
②根据正态分布的性质进行判断，
③根据二项展开式的公式进行判断．
④根据等差数列的性质以及积分的应用进行求解判断．

解答 解：①函数y=cos（x+$\frac{3π}{2}$）=cos（x+2π-$\frac{π}{2}$）=sinx，将图象上的每个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到y=sin2x，
再向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数y=sin2（x+$\frac{π}{4}$）的图象；故①错误，
②设随机变量ξ-N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3），则P（ξ＜a）=P（ξ＞6-a），则P（ξ＜6-a）=1-P（ξ＞6-a）=1-0.3=0.7，故②正确，
③（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$）¹⁰的二项展开式中的通项公式T_k+1=C${\;}_{10}^{k}$（2$\sqrt{x}$）^10-k（-$\frac{1}{x}$）^k=C${\;}_{10}^{k}$（2$\sqrt{x}$）^10-k（-$\frac{1}{x}$）^k=C${\;}_{10}^{k}$•2^10-k（-1）^kx${\;}^{5-\frac{3k}{2}}$，
当5-$\frac{3k}{2}$=-1时，k=4，此时T₅=C${\;}_{10}^{4}$2⁶x^-1=210×64x^-1=13440x^-1
故x^-1项的二项式系数是13440，故③错误；
④已知数列{a_n}为等差数列，且a₂₀₁₃+a₂₀₁₅=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{2}×π×{2}^{2}$=2π，即a₂₀₁₄=π，
则a₂₀₁₄•（a₂₀₁₂+2a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）=a₂₀₁₄×4a₂₀₁₄=4π²．故④正确，
故正确的是②④，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．