题目内容

14．汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等．某品汽车4S店为了了解A、B、C三种类型汽车质量问题，对售出的三种类型汽车各取100辆进行跟踪服务，发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示1：
车型A型B型C型
频数202040
表1
（1）某公司一次性从4S店购买该品牌A、B、C型汽车各一辆，记ξ表示这三辆车的一年内需要维修的车辆数，求ξ的分布列及数学期望（各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率）；
（2）该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如表2．
单价x（元）800820840850880900
销量y（件）908483807568
表2
预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从$\widehat{y}$=bx+a（b=0.2，a=$\widehat{y}$-b$\widehat{x}$）的关系，且该产品的成本是500元/件，为使4S店获得最大利润（利润=销售收入-成本），该产品的单价应定位多少元．

分析 解：（1）根据题意，计算A、B、C型车维修的概率，求出ξ的可能值与对应概率值，写出ξ的分布列与数学期望；
（2）求出样本的中心点坐标，计算回归方程的系数，写出利润函数w的解析式，求出W（x）的最大值以及对应的x的值．

解答 解：（1）根据表格，A型车维修的概率为$\frac{1}{5}$，B型车维修的概率为$\frac{1}{5}$，C型车维修的概率为$\frac{2}{5}$；
由题意，ξ的可能值为0，1，2，3，…（1分）
所以$p（ξ=0）=\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{48}{125}$；
$p（ξ=1）=\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{3}{5}+\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{2}{5}=\frac{56}{125}$；$p（ξ=2）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{2}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{2}{5}=\frac{19}{125}$；
$p（ξ=3）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{2}{5}=\frac{2}{125}$；…
所以ξ的分布列为

ξ0123
p$\frac{48}{125}$$\frac{56}{125}$$\frac{19}{125}$$\frac{2}{125}$
…（5分）
所以$E（ξ）=0×\frac{48}{125}+1×\frac{56}{125}+2×\frac{19}{125}+3×\frac{2}{125}=\frac{4}{5}$；…（7分）
（2）设获得的利润为w元，根据计算可得，$\overline x=850，\overline y=80$，
代入回归方程得$\overline y=-0.2x+250$，…（9分）
∴w=（-0.2x+250）（x-500）=-0.2x2+350x-125000；…（10分）
此函数图象为开口向下，以$x=-\frac{350}{-2×0.2}=875$为对称轴的抛物线，
所以当x=875时，W（x）取的最大值；
即为使4S店获得最大利润，该产品的单价应定为875元．…（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目．

练习册系列答案
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5．已知一个几何体的三视图图图所示，求该几何体的外接球的表面积50π．
5．设$a=\frac{1}{2}sin{2°}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos{2°}$，b=1-2sin213°，$c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则a，b，c的大小关系是c＜a＜b．（从小到大排列）
2．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是350毫克，若该患者坚持长期服用此药无明显副作用（此空填“有”或“无”）．
9．求下列不等式的解集．
（1）x2+4x+4＞0
（2）（1-2x）（x-1）3（x+1）2＜0
（3）$\frac{3x-5}{{x}^{2}+2x-3}$≥2．
19．有下列三个命题：
①“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
②“若xy=0，则x、y中至少有一个为零”的否命题；
③“若x2-x-6＞0，则x＞3”的逆命题．
其中真命题的个数是（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0．
（1）求A；  
（2）若a=$\sqrt{21}$，b=4求△ABC的面积．
3．设θ为第四象限的角，cosθ=$\frac{4}{5}$，则sin2θ=（　　）
A．$\frac{7}{25}$B．$\frac{24}{25}$C．-$\frac{7}{25}$D．-$\frac{24}{25}$
1．给出下列命题：
①将函数y=cos（x+$\frac{3π}{2}$）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），再向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象；
②设随机变量ξ-N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6-a）=0.7
③（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$）10的二项展开式中含有x-1项的二项式系数是210；
④已知数列{an}为等差数列，且a2013+a2015=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．
其中正确的命题的个数为（　　）
A．4个B．3个C．2个D．1个

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