Question

2．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，AA₁=A₁C=CA=2，$AB={A_1}B=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A-BC-A₁的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AA₁中点O，连接CO，BO，推导出CO⊥AA₁，BO⊥AA₁，从而AA₁⊥平面BOC，由此能证明AA₁⊥BC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-BC-A₁的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AA₁中点O，连接CO，BO．
∵CA=CA₁，∴CO⊥AA₁，又∵BA=BA₁，∴BO⊥AA₁，…（3分）
∵BO∩CO=O，∴AA₁⊥平面BOC，
∵BC?平面BOC，∴AA₁⊥BC．…（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）CO⊥AA₁，
又侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，侧面AA₁C₁C∩侧面ABB₁A₁=AA₁，
∴CO⊥平面ABB₁A₁，而BO⊥AA₁，∴OA，OB，OC两两垂直．
如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
则有$O（0，0，0），A（1，0，0），{A_1}（-1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，\sqrt{3}），{B_1}（-2，1，0）$，
…（7分）
设$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁）是平面ABC的一个法向量，$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂）是平面A₁BC的一个法向量，
∵$\overrightarrow{CA}=（1，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{CB}=（0，1，-\sqrt{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}-\sqrt{3}{z_1}=0}\\{{y_1}-\sqrt{3}{z_1}=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=\sqrt{3}{z_1}}\\{{y_1}=\sqrt{3}{z_1}}\end{array}}\right.$
令z₁=1，∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}，1$）．
又∵$\overrightarrow{{A_1}B}=（1，1，0），\overrightarrow{{A_1}C}=（1，0，\sqrt{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}+{y_2}=0}\\{{x_2}+\sqrt{3}{z_2}=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}=-\sqrt{3}{z_2}}\\{{y_2}=\sqrt{3}{z_2}}\end{array}}\right.$，
令z₂=-1，∴$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，-\sqrt{3}，-1$）．…（10分）
设二面角A-BC-A₁为θ，
则|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{7}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{7}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∴二面角A-BC-A₁的正弦值是$\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．