Question

若函数f（x）=x³+ax²-2x+5在区间（

1

3

，

1

2

）是单调递减函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出导函数，令导函数小于等于0在（

1

3

，

1

2

）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-2ax-2，
∵f（x在区间（

1

3

，

1

2

）是单调递减函数，
∴f′（x）=3x²-2ax-2≤0在（

1

3

，

1

2

）上恒成立．
∴即2ax≥3x²+2．
即a≥

3x

2

+

1

x

≥2

3x 2 • 1 x

=

6

，等且仅当x=

6

6

取等号，
所以a≥

6

6

．
故实数a的取值范围是[

6

6

，+∞）．
故答案为[

6

6

，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性与函数的导函数的关系，训练了利用分离变量法求参数的范围，考查了利基本不等式求函数的最值，是基础题