已知抛物线E:y2=2px.直线x=my+3与E交于A.B两点.且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6.其中O为坐标原点．(1)求抛物线E的方程,(2)已知点C的坐标为.记直线CA.CB的斜率分别为k1.k2.证明$\frac{1}{{{k} {1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k} {2}}^{2}}$-2m2为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知抛物线E：y²=2px（p＞0），直线x=my+3与E交于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，其中O为坐标原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C的坐标为（-3，0），记直线CA、CB的斜率分别为k₁，k₂，证明$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²为定值．

分析（1）由题意可知：将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理可知：y₁+y₂=2pm，y₁•y₂=-6p，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁•y₂，求得9-6p=6，求得p的值，即可求得抛物线E的方程；
（2）由直线的斜率公式可知：k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+3}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}+6}$，k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+6}$=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}+6}$，$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²=（m+$\frac{6}{{y}_{1}}$）²+（m+$\frac{6}{{y}_{2}}$）²-2m²=2m²+12m×$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$+36×$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$-2m²，由（1）可知：y₁+y₂=2pm=m，y₁•y₂=-6p=-3，代入即可求得$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²=24．

解答解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+3}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：y²-2pmy-6p=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=2pm，y₁•y₂=-6p，
则x₁•x₂=$\frac{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁•y₂=9-6p=6，解得：p=$\frac{1}{2}$，
∴y²=x；
（2）证明：由直线CA的斜率k₁，k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+3}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}+6}$，
CB的斜率k₂，k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+6}$=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}+6}$，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$=m+$\frac{6}{{y}_{1}}$，$\frac{1}{{k}_{2}}$=m+$\frac{6}{{y}_{2}}$，
∴$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²=（m+$\frac{6}{{y}_{1}}$）²+（m+$\frac{6}{{y}_{2}}$）²-2m²，
=2m²+12m（$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$）+36×（$\frac{1}{{y}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{2}^{2}}$）-2m²，
=2m²+12m×$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$+36×$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$-2m²，
由（1）可知：y₁+y₂=2pm=m，y₁•y₂=-6p=-3，
∴$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²=2m²+12m×（$-\frac{m}{3}$）+36×$\frac{{m}^{2}+6}{9}$-2m²=24，
∴$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-2m²为定值．