Question

8．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，且满足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃，数列{${\frac{a_n}{b_n}}\right.$}的前n项和T_n，若T_n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为10．

Answer 1

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{a_n}以及{b_n}和{${\frac{a_n}{b_n}}\right.$}的通项公式，利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可．

解答 解：设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
由b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
得$\left\{\begin{array}{l}q+6+d=10\\ 3+4d-2q=3+2d\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=2\end{array}\right.$
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，${b_n}={2^{n-1}}$．
则${\frac{a_n}{b_n}}\right.$=$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$，
T_n=3+$\frac{5}{2}$+$\frac{7}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$，
所以$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
两式作差得$\frac{1}{2}$T_n=3+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$
=3+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$=3+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$=3+2-2•（$\frac{1}{2}$）^n-1-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
即T_n=10-（$\frac{1}{2}$）^n-3-$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$＜10，
由T_n＜M对一切正整数n都成立，
∴M≥10，
故M的最小值为10，
故答案为：10

点评 本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．