Question

3．已知不等式|x²-3x-4|＜2x+2的解集为{x|a＜x＜b}．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若m，n∈（-1，1），且mn=$\frac{a}{b}$，S=$\frac{a}{{{m^2}-1}}$+$\frac{b}{{3（{{n^2}-1}）}}$，求S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对不等式的右边分解因式，可得x+1＞0，且|x-4|＜2，由绝对值不等式的解法，可得a，b的值；
（Ⅱ）可得mn=$\frac{1}{9}$，S=$\frac{2}{{m}^{2}-1}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$，运用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a=b取得等号），以及a²+b²≥2ab（a=b取得等号），可得S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）因为$|{{x^2}-3x-4}|＜2x+2?|{（{x+1}）（{x-4}）}|＜2（{x+1}）?\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\|{x-4}|＜2\end{array}\right.?2＜x＜6$，
所以a=2，b=6．
（Ⅱ）因为a=2，b=6，所以$mn=\frac{1}{3}，S=\frac{2}{{{m^2}-1}}+\frac{2}{{{n^2}-1}}$．
由m，n∈（-1，1），可得1-m²＞0，1-n²＞0，
$S=-2（{\frac{1}{{1-{m^2}}}+\frac{1}{{1-{n^2}}}}）≤-4\sqrt{\frac{1}{{（{1-{m^2}}）（{1-{n^2}}）}}}=-4\sqrt{\frac{1}{{\frac{10}{9}-（{{m^2}+{n^2}}）}}}≤-4\sqrt{\frac{1}{{\frac{10}{9}-\frac{2}{3}}}}=-6$，
当且仅当$m=n=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时取等号，所以S_max=-6．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用等价转化思想和绝对值的性质，考查最值的求法，注意运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．