Question

4．AC是圆O的直径，BD是圆O在点C处的切线，AB、AD分别与圆O相交于E，F，EF与AC相交于M，N是CD中点，AC=4，BC=2，CD=8
（Ⅰ）求AF的长；
（Ⅱ）证明：MN平分∠CMF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接CF，证明AC⊥CD，利用射影定理求AF的长；
（Ⅱ）证明CF⊥MN，利用MC=MF，即可证明：MN平分∠CMF．

解答 （Ⅰ）解：连接CF，
∵AC是圆O的直径，
∴CF⊥AF，
∵BD是圆O在点C处的切线，
∴AC⊥CD．
Rt△ACD中，AD=$\sqrt{16+64}$=4$\sqrt{5}$，
根据射影定理，AC²=AF•AD，
∴AF$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；
（Ⅱ）证明：∵AC=4，BC=2，CD=8，∠ACB=∠ACD=90°，
∴△ACB∽△DCA，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∴EF是圆的直径，即M是圆心．
∵N是CD中点，
∴MN∥AD，
∴CF⊥MN．
∵MC=MF，
∴MN平分∠CMF．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查射影定理的运用，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．