Question

17．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）中心对称；③函数在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函数”的函数可以是（　　）

• A． f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）
• B． f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）
• C． f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
• D． f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 利用三角函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：对于f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），它的周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，显然不满足条件①，故排除A；
对于f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），当x=$\frac{π}{12}$时，求得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$≠0，显然不满足条件②，故排除B；
对于f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，π]，故函数在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是减函数，不满足条件③，故排除C；
对于f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由于它的周期为$\frac{2π}{2}$=π，满足条件①；当x=$\frac{π}{12}$时，求得f（x）=0，显然满足条件②；
当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故函数在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函数，满足条件③，
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，属于基础题．