Question

已知数列{a_n}是单调数列，a₁=1，a₂=3，点A（n，a_n），B（n+1，a_n+1），C（n+2，a_n+2），△ABC的外接圆圆心为M，且

MA

+

MC

=λ

MB

（λ∈R），则通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：根据向量关系，判断三角形的性质，利用数列的递推关系得到{a_n}是等差数列，即可得到结论．

解答： 解：∵△ABC的外接圆圆心为M，且

MA

+

MC

=λ

MB

（λ∈R），
∴得到△ABC是等腰三角形且AB=BC，
即

(n+1-n)2+(an+1-an)2

=

(n+2-n-1)2+(an+2-an+1)2

，
∵数列{a_n}是单调数列，
∴1+（a_n+1-a_n）²=1+（a_n+2-a_n+1）²，
即（a_n+1-a_n）²=（a_n+2-a_n+1）²，
即a_n+1-a_n=a_n+2-a_n+1，
即2a_n+1=a_n+2+a_n，
即数列{a_n}是等差数列，公差d=3-1=2，
故a_n=1+2（n-1）=2n-1，
故答案为：2n-1

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据向量关系判断三角形是等腰三角形以及判断数列是等差数列是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．