Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且满足ccos（2016π-A）-$\sqrt{3}$ccos（$\frac{3π}{2}$-A）=a+b．
（1）求C的大小；
（2）若a=3，b=4．试求$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据诱导公式和正弦定理即可求解C的大小；
（2）根据C的大小，a=3，b=4．余弦定理求出c的值，根据正弦求出sinB．$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为ccos（π-B）即可得解．

解答 解：∵ccos（2016π-A）-$\sqrt{3}$ccos（$\frac{3π}{2}$-A）=a+b．
可得：ccosA+$\sqrt{3}$csinA=a+b．
由正弦定理，可得：sinCcosA+$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+sinB．
sinB=sin（A+C）
∴sinCcosA+$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+sinAcosC+sinCcosA
得：$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+sinAcosC
∵0＜A＜π，sinA≠0．
∴$\sqrt{3}$sinC=1+cosC
即2sin（C-$\frac{π}{6}$）=1．
∵0＜C＜π
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$．
∴C=$\frac{π}{3}$
（2）由（1）可知C=$\frac{π}{3}$，a=3，b=4．
由正弦定理，可得：$\frac{3}{sinA}=\frac{4}{sinB}=\frac{c}{sin\frac{π}{3}}$
由余弦定理：cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即12=25-c²，
∴c=$\sqrt{13}$．
那么cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{9+13-16}{6\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
故得$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为：$\sqrt{13}×$cos（π-B）=$-\sqrt{13}$×$\frac{\sqrt{13}}{13}$=-1．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．