Question

12．已知函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式、余弦公式变形，两角差的正弦公式化简解析式即可；
（2）由x的范围求出$2x-\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数的图象与性质求出f（x）在[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上的值域．

解答 解：（1）由题意得，
$f（x）=cosx（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sinxcosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}（1+cos2x）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{3}$，∴$-\frac{5π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，
∴$-1≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）≤\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴f（x）的值域是$[-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}]$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，考查整体思想，化简、变形能力．