Question

12．（1）已知函数f（x）=x³-mx²-nx的图象与x轴相切，切点为（1，0），且g（x）=f（x）+1，求g（x）的极值．
（2）已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（-1）=2，f'（0）=0，$\int_{\;-1}^{\;0}{f（x）dx=-4}$，求a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于m，n的方程，求出m，n的值，解关于导函数的不等式，求出函数g（x）的单调区间，从而求出g（x）的极值即可；
（2）根据解析式求出函数的导数和定积分，再列出三个方程进行求解．

解答 解：（1）f（x）=x³-mx²-nx，f′（x）=3x²-2mx-n，
若f（x）与x轴相切，切点为（1，0），
故f′（1）=3-2m-n=0，f（1）=1-m-n=0，
解得：m=2，n=-1，
故f（x）=x³-2x²+x，
g（x）=x³-2x²+x+1，
g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
令g′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
故g（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，+∞）递增，
故g（x）的极大值是g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{31}{27}$，g（x）的极小值是g（1）=1；
（2）由f（-1）=2得，a-b+c=2  ①
又∵f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b=0，②
∵∫_-1⁰（ax²+bx+c）dx=$\frac{1}{3}$a-$\frac{1}{2}$b+c，
∴$\frac{1}{3}$a-$\frac{1}{2}$b+c=-4③
联立①②③式解得，a=9，b=0，c=-7．

点评 本题考查了用待定系数法求函数的解析式，涉及了导数和定积分的知识应用，需要用导数公式进行求解．