Question

15．数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证：{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+2}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，证明：对?n∈N^*，都有$\frac{1}{5}$≤S_n＜$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 （1）a₁=3，a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）．取n=1，2即可得出．
（2）由a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）．得a_n+1+2=2（a_n+2）利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．
（3）由（1）可得：b_n=$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式、数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）a₁=3，a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）．
则a₂=2×3+2=8，a₃=2×8+2=18．
（2）证明：由a_n+1=2a_n+2（n∈N^*）．得a_n+1+2=2（a_n+2），∵a₁=3，a₁+2=5，
∴{a_n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，
a_n+2=5×2^n-1，∴a_n=5×2^n-1-2．
（3）证明：由（1）可得：b_n=$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$，
S_n=$\frac{1}{5}$$（1+\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n-1}}）$①
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{5}$$（\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}）$②
①-②可得：S_n=$\frac{2}{5}$$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{n}{{2}^{n}}）$=$\frac{2}{5}（\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n}}）$=$\frac{2}{5}$$（2-\frac{2+n}{{2}^{n}}）$．
∴S_n$＜\frac{4}{5}$．
又∵S_n+1-S_n=$\frac{2}{5}×\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$＞0，
∴数列{S_n}单调递增，S_n≥S₁=$\frac{1}{5}$，
∴对?n∈N^*，都有$\frac{1}{5}$≤S_n＜$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．