Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最高点为Q（

π

6

，2）
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）当x∈[

π

12

，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由最高点为Q（

π

6

，2），可得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为

π

2

，可得T=

2π

ω

=2×

π

2

，解得ω=2．
由点Q（

π

6

，2）在函数的图象上，可得2sin（2×

π

6

+φ）=2，即 sin（φ+

π

3

）=1．
再根据0＜φ＜

π

2

，可得 φ=

π

6

，∴函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（Ⅱ）当x∈[

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值2；当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值为-1，
故f（x）的值域为[-1，2]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．