题目内容
16．
上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；
（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．
分析 （1）由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x=$\frac{\frac{AB}{2}}{cos∠HAB}$=$\frac{16.8}{cos27°}$=18.86；
（2）∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：$\frac{OH}{sin∠OBH}$=$\frac{BH}{sin∠BOH}$，OH=$\frac{18.86×sin6°}{sin120°}$=2.28，则倾斜角∠OPH=arctan$\frac{OH}{PH}$=arctan$\frac{2.28}{18.86}$=6.89°．
解答 解：（1）设塔高PH=x，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°，
∴△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，
∴AH=BH=x…（2分）
在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，
∴x=$\frac{\frac{AB}{2}}{cos∠HAB}$=$\frac{16.8}{cos27°}$=18.86…（6分）
（2）在△BOH中，∠BOH=120°，
∴∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.9，
由$\frac{OH}{sin∠OBH}$=$\frac{BH}{sin∠BOH}$，
得OH=$\frac{18.86×sin6°}{sin120°}$=2.28，…（10分）
∴∠OPH=arctan$\frac{OH}{PH}$=arctan$\frac{2.28}{18.86}$≈6.9°，…（13分）
∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9°． …（14分）
点评 本题考查解三角形的综合应用，考查正弦定理，反三角函数的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
| A． | $y=\left\{{\begin{array}{l}{2-x，x＜1}\\{x，x＞1}\end{array}}\right.$ | B． | $y=\left\{{\begin{array}{l}{2-x，x＞1}\\{x，x≤1}\end{array}}\right.$ | C． | $y=\left\{{\begin{array}{l}{x，x＜1}\\{2-x，x≥1}\end{array}}\right.$ | D． | $y=\left\{{\begin{array}{l}{2-x，x＜1}\\{x，x≥1}\end{array}}\right.$ |
| A． | $4\sqrt{3}π$ | B． | $\frac{16π}{3}$ | C． | 16π | D． | $\frac{32π}{3}$ |