题目内容
14．某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是$\frac{1}{2}$，丙、丁考试合格的概率都是$\frac{2}{3}$，且考试是否合格互不影响．（I）求丙、丁未签约的概率；
（II）记签约人数为 X，求 X的分布列和数学期望EX．
分析 （I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C，D．由题意知 A，B，C，D相互独立，且${P}（{A}）={P}（{B}）=\frac{1}{2}$，${P}（C）={P}（D）=\frac{2}{3}$．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得能求出丙、丁未签约的概率．
（II） X的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．
解答 解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C，D．
由题意知 A，B，C，D相互独立，且${P}（{A}）={P}（{B}）=\frac{1}{2}$，${P}（C）={P}（D）=\frac{2}{3}$．
记事件“丙、丁未签约”为F，
由事件的独立性和互斥性得：
P（F）=1-P（CD）…（3分）
=$1-\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{5}{9}$…（4分）
（II） X的所有可能取值为0，1，2，3，4．…（5分）
${P}（{{X}=0}）={P}（{\overline{{A}{B}}}）{P}（F）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}=\frac{5}{36}$，
${P}（{{X}=1}）={P}（{{A}\bar{B}}）{P}（F）+{P}（{\bar{A}{B}}）{P}（F）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}=\frac{5}{18}$，
${P}（{{X}=2}）={P}（{{A}{B}F}）+{P}（{\bar{A}\bar{B}CD}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{4}$，
${P}（{{X}=3}）={P}（{{A}\bar{B}CD}）+{P}（{\bar{A}{B}CD}）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，
${P}（{{X}=4}）={P}（{{A}{B}CD}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$．
所以，X的分布列是：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{5}{36}$ | $\frac{5}{18}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{9}$ |
X的数学期望${E}{X}=0×\frac{5}{36}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{2}{9}+4×\frac{1}{9}=\frac{17}{9}$…（13分）
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
| A． | {x|x＜-1或x＞1} | B． | {x|x＜0或x＜2} | C． | {x|x＜0或x＞1} | D． | {x|x＜0或x＞2} |
| A． | -5或2 | B． | -1或4 | C． | -5或4 | D． | -5或-1或2或4 |
如图，椎体P-ABCD中，ABCD为边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=$\sqrt{2}$，PB=2，E、F、G分别为BC、PC、AD中点．