Question

6．如图，椎体P-ABCD中，ABCD为边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=$\sqrt{2}$，PB=2，E、F、G分别为BC、PC、AD中点．
（1）求证：平面PGB∥平面DEF；
（2）证明：AD⊥平面PGB；
（文）（3）求直线PC与平面PGB所成角的正弦值；
（理）（3）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出EF∥PB，DE∥GB，由此能证明平面PGB∥平面DEF．
（2）推导出PG⊥AD，BG⊥AD，由此能证明AD⊥平面PGB．
（文）（3）以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PGB所成角的正弦值．
（理）（3）分别求出平面PAD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角P-AD-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵E、F、G分别为BC、PC、AD中点，ABCD为边长为1的菱形，
∴EF∥PB，DE∥GB，
又EF∩DE=E，PB∩BG=B，EF、DE?平面DEF，PB、
BG?平面PBG，
∴平面PGB∥平面DEF．
（2）∵椎体P-ABCD中，ABCD为边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=$\sqrt{2}$，PB=2，
∴BD=BA，又G是AD的中点，
∴PG⊥AD，BG⊥AD，
又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．
解：（文）（3）∵PA=PD=$\sqrt{2}$，PB=2，∴PG²+BG²=PB²，∴PG⊥BG，
又PG⊥AD，BG∩AD=G，∴PG⊥平面ABCD，
以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），C（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），G（0，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{PC}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$），
平面PGB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设直线PC与平面PGB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{4}+\frac{7}{4}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
∴直线PC与平面PGB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
（理）（3）∵平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），平面ABD的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}$=0，
∴二面角P-AD-B的平面角为90°，
∴二面角P-AD-B的余弦值为0．

点评 本题考查平面和平面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法．