Question

16．设M，N，P是单位圆上三点，若MN=1，则$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 固定M，N两点，设P（cosα，sinα），代入平面向量的坐标运算，根据三角恒等变换化简得出最大值．

解答 解：设M（1，0），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（cosα，sinα），
则$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（cosα-1，sinα），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=$\frac{1}{2}-$cos（α+$\frac{π}{3}$），
∴当cos（α+$\frac{π}{3}$）=-1时，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MP}$取得最大值$\frac{3}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．