Question

【题目】已知，（且）．

（1）判断的奇偶性并用定义证明；

（2）判断的单调性并有合理说明；

（3）当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2） 当a>0，且a≠1时，f（x）在定义域内单调递增；；（3）

【解析】

试题分析：（1）利用奇函数的定义和幂运算的性质即可证明函数为定义域上的奇函数；（2）先利用指数函数的单调性判断函数为R上的单调增函数，再利用函数单调性的定义，通过设 ，且 ，作差比较 与 的大小，即可证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为 ，再利用函数的单调性和定义域，将不等式转化为整式不等式组即可得不等式的解集.

试题解析：解：（1）因为函数的定义域为R，所以关于原点对称．又因为，所以 为奇函数．……4分

（2）当时， 为增函数， 为减函数，从而 为增函数，所以f（x）为增函数，

当 时， 为减函数， 为增函数，从而 为减函数，所以f（x）为增函数．

故当 ，且 时，f（x）在定义域内单调递增． ……4分

（3）由（2）知 在 上是增函数，所以在区间 上为增函数，所以 ，

所以，所以要使 在 上恒成立，则只需 ，

故的取值范围是 ． ……4分