Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，x≥0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$，则满足f[f（a）]=3的实数a的个数为（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 令f（a）=t，现在来求满足f（t）=3的t，容易判断f（t）为偶函数，所以可先求t≥0时的t，解出为t=1，或3．根据偶函数的对称性知，t＜0时，满足f（t）=3的解为-1，或-3，而接着就要判断以下几个方程：f（a）=1，f（a）=-1，f（a）=3，f（a）=-3解的个数，由于f（x）是偶函数，所以只需判断a≥0时以上几个方程解的个数即可，而a＜0时方程解的个数和a≥0时解的个数相同，最后即可得出满足f[f（a）]=3的实数a的个数．

解答 解：易知f（x）=-x²+4|x|为偶函数，
令f（a）=t，则f[f（a）]=3变形为f（t）=3，
t≥0时，f（t）=-t²+4t=3，解得t=1，或3；
∵f（t）是偶函数；
∴t＜0时，f（t）=3的解为，t=-1或-3；
综上得，f（a）=±1，±3；
当a≥0时，-a²+4a=1，方程有2解；
-a²+4a=-1，方程有1解；
-a²+4a=3，方程有2解；
-a²+4a=-3，方程有1解．
∴当a≥0时，方程f（a）=t有6解；
∵f（x）是偶函数，∴a＜0时，f（a）=t也有6解；
综上所述，满足f[f（a）]=3的实数a的个数为12．
故选C．

点评 本题考查偶函数的概念及偶函数图象的对称性，以及解偶函数方程和判断偶函数方程解的个数所用到的方法：只需求出x≥0时方程的解．