Question

5．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性及单调性并证明你的结论；
（2）若对任意x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），可得f（0）=0．取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即可判断出奇偶性．任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，可得x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，化简即可得出单调性．
（2）利用函数的奇偶性与单调性、不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0．
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，∴f（x）为奇函数．
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜-f（-x₁），又f（x）为奇函数，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是R上的减函数．
（2）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax²）+f（-2x）＜f（x）+f（-2），
则f（ax²-2x）＜f（x-2），
∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，∴ax²-2x＞x-2，
当a=0时，-2x＞x-2在R上不是恒成立，与题意矛盾；
当a＞0时，ax²-2x-x+2＞0，要使不等式恒成立，则△=9-8a＜0，即a＞$\frac{9}{8}$；
当a＜0时，ax²-3x+2＞0在R上不是恒成立，不合题意．
综上所述，a的取值范围为（$\frac{9}{8}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．