Question

定义在R上的函数f（x），若对任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：
①y=

1

3

x³-x²+x-2；②y=2x-（sinx+cosx）；③y=e^x+1；④f（x）=

ln|x|， x≠0 0， x=0.

其中是“Z函数”的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数的概念及其构成要素

专题：

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①y=-

1

3

x³-x²+x-2；y'=x²-2x+1=（x-1）²，则函数在定义域上单调递增．
②y=2x-（sinx+cosx）；y'=2-（cosx-sinx）=2+

2

sin（x-

π

4

）＞0，函数单调递增，满足条件．
③y=e^x+1为增函数，满足条件．
④f（x）=

ln|x|，x≠0 0，x=0

，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
故选C．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．