Question

（周练变式）已知命题p：函数y=

x-5

x-a-2

在（-1，+∞）上单调递增；命题q：函数g（x）=lg[（1-a²）x²+3（1-a）x+6]的值域为R．如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：先根据函数单调性和函数导数符号的关系，对数函数的值域，及定义域即可求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p或q为真，p且q为假得p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围，再求并集即可．

解答： 解：命题p为真命题：y′=

3-a

(x-a-2)2

＞0，且x-a-2＞0在（-1，+∞）上恒成立，即-1-a-2≥0，a≤-3；
∴a≤-3；
命题q为真命题：（1）若1-a²=0，经检验a=-1符合条件；
（2）若1-a²≠0，∵g（x）的值域为R，∴函数（1-a²）x²+3（1-a）x+6的取值是（0，+∞），则：

1-a2＞0 △=9(1-a)2-24(1-a2)≥0

，解得a∈(-1，-

5

11

]；
综合（1）（2）得a∈[-1，-

5

11

]；
根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题；
当p真q假时：a≤-3，且a＜-1，或a＞-

5

11

，∴a≤-3；
当p假q真时：a＞-3，或-1≤a≤-

5

11

，∴-1≤a≤-

5

11

；
综上：a≤-3，或-1≤a≤-

5

11

；
∴实数a的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，-

5

11

]．

点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，对数函数的值域，对数函数的定义域，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．