Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x．
（1）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域；
（2）求函数g（x）=f（x）-

1

2

在区间[-

π

12

，

π

2

]上的所有零点之和．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数零点的判定定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先把三角函数式变形成正弦型函数，然后根据函数的定义域求函数的值域．
（2）由（1）的结果进一步求出方程的根，即函数的零点，进一步求出零点的和．

解答： 解：（1）已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]
（2）由（1）得：函数g（x）=f（x）-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

在区间[-

π

12

，

π

2

]上的所有零点
即：sin（2x-

π

6

）-

1

2

=0
解得：2x-

π

6

=

π

6

或2x-

π

6

=

5π

6

即：x=

π

6

或

π

2

所以所有的零点之和为：

π

6

+

π

2

=

2π

3

故答案为：（1）sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]
（2）所有的零点之和为：

π

6

+

π

2

=

2π

3

点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数在定义域内的值域，以及单调性的应用，以及函数的零点问题．