Question

如图所示，ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面FGH∥平面PED
（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．
又FG?平面PED，PE?平面PED，所以FG∥平面PED．
同理FH∥BC，
∵AD∥BC，
∴FH∥AD，
∵FH?平面PED，AD?平面PED，
∴FH∥平面PED，
∵FG∩FH=F，
∴平面FGH∥平面PED；
（Ⅱ）解：∵EA⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD．
又∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD．
如图建立空间直角坐标系，∵AD=PD=2EA，∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．
∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1）．
∴

GF

=（-1，0，0.5），

GH

=（-2，0，0.5），
设

n1

=（x，y，z）为平面FGH的一个法向量，则

-x+0.5z=0 -2x+0.5z=0

，
再令y₁=1，得

n1

=（0，1，0）．
同理可得平面PBC的一个法向量为

n2

=（0，1，1），
∴|cos＜

n1

，

n2

＞|=

2

2

．
∴平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为

π

4

．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了线线角和面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题．