Question

1．某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A、B、C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为$\frac{1}{2}$，通过项目B、C概率均为a（0＜a＜1），且这三个测试项目能否通过相互独立．
（Ⅰ）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，当$a=\frac{1}{3}$时，求X的概率分布和数学期望；
（Ⅱ）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用相互独立事件的概率公式计算X的分布列，
（II）用a表示出各种情况的概率，列不等式组求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）随机变量X的可能取值为0、1、2、3．
当$a=\frac{1}{3}$时，P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；
P（X=1）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×{C}_{2}^{1}$=$\frac{4}{9}$；
P（X=2）$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}{×C}_{2}^{1}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{18}$；
P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{18}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

X的数学期望为$E（X）=0×\frac{2}{9}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{5}{18}+3×\frac{1}{18}=\frac{7}{6}$．
（Ⅱ）$P（X=0）=（1-\frac{1}{2}）C_2^0•{（1-a）^2}=\frac{1}{2}{（1-a）^2}$，
$P（X=1）=\frac{1}{2}C_2^0•{（1-a）^2}+$$（1-\frac{1}{2}）C_2^1•a•（1-a）=\frac{1}{2}（1-{a^2}）$，
$P（X=2）=\frac{1}{2}C_2^1•a•（1-a）+（1-\frac{1}{2}）C_2^2•{a^2}=\frac{1}{2}（2a-{a^2}）$，
$P（X=3）=\frac{1}{2}C_2^2•{a^2}=\frac{1}{2}{a^2}$，
∴P（X=1）-P（X=0）=a（1-a），
$P（X=1）-P（X=2）=\frac{1-2a}{2}$，
$P（X=1）-P（X=3）=\frac{{1-2{a^2}}}{2}$，由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{a（1-a）≥0}\\ \begin{array}{l}\frac{1-2a}{2}≥0\\ \frac{{1-2{a^2}}}{2}≥0\end{array}\end{array}}\right.$，
又0＜a＜1，∴$0＜a≤\frac{1}{2}$，
即a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．