Question

8．若x，y∈R⁺，$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}=\frac{1}{2}$，则xy的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 9
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 可令x+1=u，y+1=v，（u＞1，v＞1），变形可得xy=（u-1）（v-1）=uv+1-u-v=2（u+v）（$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$）+1，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：可令x+1=u，y+1=v，（u＞1，v＞1），
可得x=u-1，y=v-1，
即有$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$=$\frac{1}{2}$，
即uv=2（u+v），
则xy=（u-1）（v-1）=uv+1-u-v
=2（u+v）+1-u-v=u+v+1
=2（u+v）（$\frac{1}{u}$+$\frac{1}{v}$）+1
≥2•2$\sqrt{uv}$•2$\sqrt{\frac{1}{uv}}$+1=8+1=9，
当且仅当u=v=4，即x=y=3时，取得最小值9．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用换元法和等价变形，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．