Question

18．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10≥0}\\{x+3y-6≤0}\end{array}\right.$，表示的平面区域为D，若函数y=log_ax（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是[3，+∞）．

Answer 1

分析 如图所示，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10≥0}\\{x+3y-6≤0}\end{array}\right.$，表示的平面区域为D，联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10=0}\\{x+3y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1）．根据函数y=log_ax（a＞1）的图象上存在区域D上的点，可得经过点A时，a取得最小值，可得a．

解答 解：如图所示，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10≥0}\\{x+3y-6≤0}\end{array}\right.$，表示的平面区域为D，
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10=0}\\{x+3y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，∴A（3，1）．
∵函数y=log_ax（a＞1）的图象上存在区域D上的点，
∴经过点A时，a取得最小值，1=log_a3，解得a=3．
则实数a的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．

点评 本题考查了线性规划、对数函数的单调性、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．