Question

已知A，B是抛物线y²=4x上异于顶点O的两个点，直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，△AOF，△BOF的面积为S₁，S₂，则S₁²+S₂²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，可得y₁y₂=-4，由S₁²+S₂²=

1

4

（y₁²+y₂²），利用基本不等式，可得结论．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-4，
∴y₁y₂=-4，
∵△AOF，△BOF的面积为S₁，S₂，
∴S₁²+S₂²=

1

4

（y₁²+y₂²）≥

1

4

•2|y₁y₂|=2，当且仅当|y₁|=|y₂|时取等号，
故答案为：2．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．