Question

已知二次函数f（x）=mx²-2x-3，若不等式f（x）＜0的解集为（-1，n）．
（1）解关于x的不等式：2x²-4x+n＞（m+1）x-1；
（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a^x）-4a^x+1（x∈[1，2]）的最小值为-4？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出m与n的值，再求不等式的解集；
（2）用换元法，得函数y=t²-（4a+2）t-3，求出最小值为-4时的a的值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=mx²-2x-3，且f（x）＜0的解集为（-1，n），
∴方程mx²-2x-3=0的两个实数根是-1，n，且m＞0；
∴

-1+n= 2 m -1×n=- 3 m

，
解得

m=1 n=3

；
∴原不等式可化为（x-2）（x-1）＞0，
解得解集为（-∞，1）∪（2，+∞）；
（2）设t=a^x，且a∈（0，1），
∴x∈[1，2]时，a^x∈[a²，a]；
函数y=f（a^x）-4a^x+1=t²-（4a+2）t-3，
对称轴是t=2a+1＞a，
∴y_min=a²-（4a+2）a-3=-4，
解得a=

1

3

或a=-1（舍去）；
∴存在实数a=

1

3

．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用问题，是中档题．