Question

4．设△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若△ABC的面积为2，AB边上的中线长为$\sqrt{2}$，且b=acosC+csinA，则△ABC中最长边的长为4或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，D为AB的中点．b=acosC+csinA，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin（A+C），展开化简可得：tanA=1，A∈（0，π），A=$\frac{π}{4}$．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=2，可得bc=4$\sqrt{2}$．在△ACD中，由余弦定理可得：$（\sqrt{2}）^{2}$=${b}^{2}+（\frac{c}{2}）^{2}$-2b×$\frac{c}{2}$cos$\frac{π}{4}$，解得b，c，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：如图所示，D为AB的中点．
∵b=acosC+csinA，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinCsinA=cosAsinC，sinC≠0，可得tanA=1，A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=2，∴bc=4$\sqrt{2}$．
在△ACD中，由余弦定理可得：$（\sqrt{2}）^{2}$=${b}^{2}+（\frac{c}{2}）^{2}$-2b×$\frac{c}{2}$cos$\frac{π}{4}$，化为：4b²+c²=24，
与bc=4$\sqrt{2}$联立可得：b=$\sqrt{2}$，c=4，或b=2，c=2$\sqrt{2}$．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{4}$，解得a=$\sqrt{10}$或2．
∴三角形的边长分别为：$\sqrt{10}$，$\sqrt{2}$，4；或2，2，2$\sqrt{2}$．
故△ABC的最长边为4或2$\sqrt{2}$．
故答案为：4或2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形内角和定理及其诱导公式、正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．