Question

19．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC上一点，满足$\overrightarrow{BI}$=$\overrightarrow{BA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$）（λ＞0），$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=4$，$|\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}|=10$，则$\frac{{\overrightarrow{BI}•\overrightarrow{BA}}}{{|\overrightarrow{BA}|}}$的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用角平分线的性质、三角形内切圆的性质、向量的运算性质即可得出．

解答 解：∵$|\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{AB}|=10$，PC是∠APB角的平分线，
又满足$\overrightarrow{BI}$=$\overrightarrow{BA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$+$\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$）（λ＞0），即$\overrightarrow{AI}$=λ$（\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}+\frac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}）$，
所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E、F，
∵$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=4$，$|\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}|=10$，$|\overrightarrow{BH}|$=$|\overrightarrow{BF}|$=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{PB}|+|\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{PA}|）$=$\frac{1}{2}[|\overrightarrow{AB}|-（|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|）]$=3，
在直角三角形BIH中，cos∠IBH=$\frac{|\overrightarrow{BH}|}{|\overrightarrow{BI}|}$，
所以$\frac{{\overrightarrow{BI}•\overrightarrow{BA}}}{{|\overrightarrow{BA}|}}$=$|\overrightarrow{BI}|$cos∠IBH=$|\overrightarrow{BH}|$=3．
故选：B．

点评 本题主要考查向量运算、数量积及其几何意义、圆的切线长等，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．