题目内容

如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中点O，底面ABC是正三角形，其重心为G点，D是BC中点，B1D交BC1于E．
（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；
（2）若AA1=AB，求直线BC1与底面ABC所成角．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间角
分析：（1）由已知得
DE
EB1
=
BD
B1C1
=
1
2
，
DE
EB1
=
DG
GA
=
1
2
，从而GE∥AB1，由此能证明GE∥侧面AA1B1B．
（2）令AA1=AB=2，A1在底面ABC上的射影为AB中心O，连OD延长到H，使OD=DH，连C1H，BH，由A1C1
∥
.
OH，得A1O
∥
.
C1H，∠C1BH是直线BC1与底面ABC所成角，由此能求出直线BC1与底面ABC所成角．
解答： （1）证明：∵斜三棱柱ABC-A1B1C1中，
点A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中点O，
底面ABC是正三角形，其重心为G点，D是BC中点，B1D交BC1于E，
∴
DE
EB1
=
BD
B1C1
=
1
2
，
连结AB1，则
DE
EB1
=
DG
GA
=
1
2
，
∴GE∥AB1，
∵GE不包含于侧面AA1B1B，AB1?侧面AA1B1B，
∴GE∥侧面AA1B1B．
（2）解：令AA1=AB=2，A1在底面ABC上的射影为AB中心O，
连OD延长到H，使OD=DH，连C1H，BH，
则由A1C1
∥
.
OH，得A1O
∥
.
C1H，
∠C1BH是直线BC1与底面ABC所成角
∴C1H=
3
，BH=OC=
3
，
∴tan∠C1HB=1，∴∠C1BH=
π
4
，
∴直线BC1与底面ABC所成角为
π
4
．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与底面所成的角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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已知
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），且f（x）=
a
•
b
，
（1）求f（x）在x∈[-
π
3
，
π
3
]的最大值；
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3
，x∈[-
π
3
，
π
3
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1
x
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．
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