Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠3，a∈R），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ ，n∈N^*，求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1≥a，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由数列递推式得到Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，结合b_n=S_n-3ⁿ 可得数列{b_n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，则{b_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的{b_n}的通项公式得到Sn=3n+(a-3)•2n-1．任何再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求解
数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由a_n+1≥a_n分离参数a，然后运用指数函数的单调性求解a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
又a_n+1=S_n+1-S_n，
∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，即Sn+1=2Sn+3n，
∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)．
∴b_n+1=2b_n．
又b₁=S₁-3=a₁-3≠0（a≠3），
∴数列{b_n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，
因此bn=(a-3)•2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n-3ⁿ =（a-3）•2^n-1．
∴Sn=3n+(a-3)•2n-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=[3n+(a-3)•2n-1]-[3n-1+(a-3)•2n-2]
=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2．
而当n=1时，2•3^n-1+（a-3）•2^n-2=2+（a-3）•2^-1≠a₁，
∴数列{a_n}的通项公式为an=

a(n=1) 2•3n-1+(a-3)•2n-2(n≥2)

；
（Ⅲ）由a₂≥a₁，得2•3+（a-3）•1≥a，即3≥0，此时对任何a≠3的实数a恒成立；
当n≥2时，由a_n+1≥a_n，得
2•3ⁿ+（a-3）•2^n-1≥2•3^n-1+（a-3）•2^n-2，
即（a-3）•2^n-2≥2•3^n-1-2•3ⁿ=-4•3^n-1．
∴a≥3-8•(

3

2

)n-1．
∵n≥2时3-8•(

3

2

)n-1的最大值为-9，
∴a≥-9且a≠3．
综上，所求a的范围是[-9，3）∪（3，+∞）．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是构造出等比数列{b_n}，是压轴题．