Question

一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，按3个小球上最大数字的9倍计分．用X表示取出的3个小球上的最大数字．求：
（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量X的分布列和均值；
（Ⅲ）计分介于20分到40分之间的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用古典概型概率计算公式能求出取出的3个小球上的数字互不相同的概率．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为2，3，4，5，由此能求出随机变量X的概率分布列和EX．
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，P（C）=P（X=3或X=4）=P（x=3）+P（X=4）
，由此能求出计分介于20分到40分之间的概率．

解答： 解：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P（A）=

C 3 5 • C 1 2 • C 1 2 • C 1 2

C 3 10

=

2

3

，
∴取出的3个小球上的数字互不相同的概率为

2

3

．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为2，3，4，5，
P（X=2）=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 2 2

C 3 10

=

1

30

，
P（X=3）=

C 2 4 C 1 2 + C 1 4 C 2 2

C 3 10

=

2

15

，
P（X=4）=

C 2 6 C 1 2 + C 1 6 C 2 2

C 3 10

=

3

10

，
P（X=5）=

C 2 8 C 1 2 + C 1 8 C 2 2

C 3 10

=

8

15

，
∴随机变量X的概率分布列为：

X	2	3	4	5
P	1 30	2 15	3 10	8 15

EX=2×

1

30

+3×

2

15

+4×

3

10

+5×

8

15

=

13

3

．
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，
则P（C）=P（X=3或X=4）=P（x=3）+P（X=4）
=

2

15

+

3

10

=

13

30

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．