Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n+3=3a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{4n+1}{a_n}$，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证：T_n＜$\frac{7}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：当n=1时，2S₁+3=3a₁，得a₁=3．
当n≥2时，
∵2S_n+3=3a_n（n∈N^*），2S_n-1+3=3a_n-1，
∴2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴a_n=3ⁿ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得b_n=$\frac{4n+1}{a_n}$=$（4n+1）×（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴T_n=$5×\frac{1}{3}+$9×$（\frac{1}{3}）^{2}$+…$（4n+1）×（\frac{1}{3}）^{n}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$5×（\frac{1}{3}）^{2}$+9×$（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（4n-3）×$（\frac{1}{3}）^{n}$+（4n+1）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
两式相减得，$\frac{2}{3}$T_n=$5×\frac{1}{3}$+4×$[（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n}]$-（4n+1）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$=$\frac{1}{3}$+4×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$-（4n+1）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$=$\frac{7}{3}$-（7+4n）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
∴T_n=$\frac{7}{2}$-$\frac{1}{2}（4n+7）×（\frac{1}{3}）^{n}$$＜\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．