Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₂-1）³+2011（a₂-1）=sin

2011π

3

，（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=cos

2011π

6

，则S₂₀₁₁等于

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：将两个等式相加，利用立方和公式将得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₀的值，利用等差数列的性质及数列的前n项和公式求出n项和．

解答： 解：（a₂-1）³+2011（a₂-1）=sin

2011π

3

=

3

2

，①
（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=cos

2011π

6

=-

3

2

，②
①+②得，
（a₂-1）³+2011（a₂-1）+（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=0，
即（a₂-1+a₂₀₁₀-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（（a₂₀₁₀-1）+（a₂₀₁₀-1）²]+2011（a₂-1+a₂₀₁₀-1）=0，
∴a₂-1+a₂₀₁₀-1=0，
即a₂+a₂₀₁₀=2，{a_n}为等差数列，前n项和为S_n，
∴S₂₀₁₁=

a1+a2011

2

×2011=

a2+a2010

2

×2011=2011，
故答案为：2011．

点评：本题主要考查等差数列的前n项和，根据条件求出a₂+a₂₀₁₀=2是解决本题的关键．