题目内容
6．已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，证明：$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥3．分析 由基本不等式，得$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，相加即可证明．
解答 证：因为a，b，c为正实数，
所以由基本不等式，得$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，当且仅当a=b=c=1时取等号
三式相加，得：$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥a+b+c．
又a+b+c=3，
所以$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥3．
点评 本题考查了不等式的证明，关键是掌握基本不等式成立的条件，一正二定三相等，属于中档题
练习册系列答案
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| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |