Question

16．如图，等腰三角形ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°．E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|MN|的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件便可得到$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}（1-m）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（1-n）\overrightarrow{AC}$，然后两边平方即可得出${\overrightarrow{MN}}^{2}=（1-m）^{2}+（1-n）^{2}-（1-m）（1-n）$，而由条件n=1-m，代入上式即可得出${\overrightarrow{MN}}^{2}=3{m}^{2}-3m+1$，从而配方即可求出${\overrightarrow{MN}}^{2}$的最小值，进而得出|MN|的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）-\frac{1}{2}（m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{2}（1-m）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（1-n）\overrightarrow{AC}$
∴${\overrightarrow{MN}}^{2}=\frac{1}{4}（1-m）^{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$$+\frac{1}{4}（1-n）^{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$$+\frac{1}{2}（1-m）（1-n）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=（1-m）²+（1-n）²-（1-m）（1-n）；
∵m+n=1，∴n=1-m，代入上式得：
${\overrightarrow{MN}}^{2}=（1-m）^{2}+{m}^{2}+（1-m）m$
=3m²-3m+1
=$3（m-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$；
∵m∈（0，1）；
∴$m=\frac{1}{2}$时，${\overrightarrow{MN}}^{2}$取最小值$\frac{1}{4}$；
∴|MN|的最小值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法．