Question

7．（x-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx与曲线y=x²所成的封闭区域的面积为$\frac{125}{6}$．

Answer 1

分析 先确定n的值，再求出直线y=nx与曲线y=x²交点坐标，利用定积分求得直线y=nx与曲线y=x²围成图形的面积．

解答 解：（x-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，
即${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{3}$，解得n=5；
所以由直线y=5x与曲线y=x²，
可得交点坐标为（0，0），（5，25），
所以直线y=5x与曲线y=x²围成的封闭区域面积为：
${∫}_{0}^{5}$（5x-x²）dx=（$\frac{5}{2}$x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{5}$=$\frac{125}{6}$．
故答案为：$\frac{125}{6}$．

点评 本题主要考查了二项式定理的应用，利用定积分求曲边形的面积，属于基础题．