Question

10．设函数f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$，则使得f（x²+$\frac{2}{3}$x+2）＞f（-x²+x-1）成立的x的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3}{5}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{3}{5}$]
• C． （-$\frac{3}{5}$，+∞）
• D． $（{-\frac{3}{5}，\frac{3}{5}}）$

Answer 1

分析 根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|x²+$\frac{2}{3}$x+2|＞|-x²+x-1|，解绝对值不等式即可．

解答 解：f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$定义域为R，
∵f（-x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）=2${\;}^{\sqrt{|x|+1}}$-$\frac{3}{1+{x}^{2}}$单调递增，
根据偶函数性质可知：得f（x²+$\frac{2}{3}$x+2）＞f（-x²+x-1）成立，
∴|x²+$\frac{2}{3}$x+2|＞|-x²+x-1|，
∴x²+$\frac{2}{3}$x+2＞x²-x+1，
∴x的范围为（-$\frac{3}{5}$，+∞）
故选：C．

点评 考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．