Question

2．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）  求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求几何体A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，即OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）由高和底面积，求得三棱锥B-ACD的体积即是几何体A-BCD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=16=AB²；
∴AC⊥BC，
取AC的中点O，连结DO，则DO⊥AC，
又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，
从而OD⊥平面ABC，
∵BC?面ABC，
∴OD⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知BC为三棱锥B-ACD的高，
BC=2$\sqrt{2}$，S_△ACD=2，
∴V_A-BCD=V_B-ACD=$\frac{1}{3}$sh=$\frac{1}{3}$×2×2$\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定定理及勾股定理，注意等体积法的合理运用，是中档题．