Question

7．设a∈（$\frac{2}{3}$，1），f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，x∈[-1，1]的最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求f（x）

Answer 1

分析 先求导，根据导数和函数的最值关系，求出最值，列出关于a，b的方程，解得即可．

解答 解：∵f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，a∈（$\frac{2}{3}$，1），x∈[-1，1]
∴f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），
令f′（x）=0，解得x=0或x=a，
当f′（x）＞0时，即-1≤x＜0，或a＜x＜1，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即a＜x≤1，函数单调递增，
∵f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b，f（a）=-$\frac{1}{2}$a³+b，f（0）=b，f（1）=1-$\frac{3}{2}$a+b
∴f（-1）＜f（a），f（0）＞f（1），
∵f（x）最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴-1-$\frac{3}{2}$a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，b=1，
解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1，
∴f（x）=x³-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x²+1

点评 本题考查了利用导数求函数在某一闭区间上的最值问题，关键是判断端点值和极值的大小，属于中档题．