Question

17．已知三次函数f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}$+cd+d（a＜b）的导函数为f′（x），导函数f′（x）的导函数为f″（x），如果对任意的x∈R，不等式f′（x）≥f″（x）恒成立，则$\frac{b^2}{{{a^2}+2{c^2}}}$的最大值为$\sqrt{6}$-2．

Answer 1

分析 由已知可得ax²+（b-2a）x+（c-b）≥0恒成立，即△=（b-2a）²-4a（c-b）=b²+4a²-4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得最大值．

解答 解：∵f′（x）=ax²+bx+c，
∴f′′（x）=2ax+b，
∵对任意x∈R，不等式f′（x）≥f′′（x）恒成立，
∴ax²+bx+c≥2ax+b恒成立，
即ax²+（b-2a）x+（c-b）≥0恒成立，
故△=（b-2a）²-4a（c-b）=b²+4a²-4ac≤0，且a＞0，
即b²≤4ac-4a²，∴4ac-4a²≥0，∴c≥a＞0，⇒$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}+2{c}^{2}}≤\frac{4ac-4{a}^{2}}{{a}^{2}+2{c}^{2}}=\frac{4（\frac{c}{a}-1）}{1+2（\frac{c}{a}）^{2}}$=$\frac{4（\frac{c}{a}-1）}{2（\frac{c}{a}-1）^{2}+4（\frac{c}{a}-1）+3}$
∴当$\frac{c}{a}-1=0时，即a=c，b=0$，则$\frac{b^2}{{{a^2}+2{c^2}}}$=0，
$\frac{C}{a}-1＞0$时，$\frac{b^2}{{{a^2}+2{c^2}}}$≤$\frac{4}{2（\frac{c}{a}-1）+\frac{3}{\frac{c}{a}-1}+4}≤\frac{4}{2\sqrt{\sqrt{6}}+4}$=$\sqrt{6}-2$，
故答案为$\sqrt{6}-2$

点评 本题考查了一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．