Question

7．设函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12；
（1）求a，b的值；   
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=1，f（2）=log₂12，代入函数的解析式得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）根据函数单调性的对于证明即可．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）={{log}_2}（a-b）=1}\\{f（2）={{log}_2}（{a^2}-{b^2}）={{log}_2}12}\end{array}}\right.$，得：$\left\{{\begin{array}{l}{a-b=2}\\{{a^2}-{b^2}=12}\end{array}}\right.$，
解得a=4，b=2；…（4分）
（2）由（1）得$f（x）={log_2}（{4^x}-{2^x}）$…（5分）
由4^x-2^x＞0，得2^x-1＞0，解得：x＞0…（6分）
∴f（x）的定义域为（0，+∞）…（7分）
设x₁＞x₂＞0，
则${4^{x_1}}-{2^{x_1}}-（{4^{x_2}}-{2^{x_2}}）=（{4^{x_1}}-{4^{x_1}}）-（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）$
=$（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（{2^{x_1}}+{2^{x_2}}-1）$…（9分）
∵x₁＞x₂＞0，∴${2^{x_1}}＞{2^{x_2}}＞1$，
∴$（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（{2^{x_1}}+{2^{x_2}}-1）＞0$，
∴${4^{x_1}}-{2^{x_1}}＞{4^{x_2}}-{2^{x_2}}$…（10分）
又y=log₂x在（0，+∞）上递增；
∴${log_2}（{4^{x_1}}-{2^{x_1}}）＞{log_2}（{4^{x_2}}-{2^{x_2}}）$，
即f（x₁）＞f（x₂）…（11分）
∴f（x）在定义域（0，+∞）内递增…（12分）

点评 本题考查了对数函数的性质，考查根据定义证明函数的单调性问题，是一道基础题．