Question

2．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，N是BC的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上的一点．
（1）求证：M，N，A₁，C₁四点共面；
（2）若DE∥平面A₁MC₁，求$\frac{CE}{EB}$；
（3）求直线BC和平面A₁MC₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点N，连结MN，C₁N，由已知得A₁，M，N，C₁四点共面；
（2）由已知条件推导出DE∥C₁N，从而求出$\frac{CE}{EB}$；
（3）连结B₁M，由已知条件得四边形ABB₁A₁为矩形，B₁C₁与平面A₁MC₁所成的角为∠B₁C₁M，由此能求出直线BC和平面A₁MC₁所成的角的余弦值．

解答 （1）证明：取BC中点N，连结MN，C₁N，…（1分）
∵M，N分别为AB，CB中点
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，…（3分）
（2）解：∵平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N，
又DE∩平面BCC₁B₁，
且DE∥平面A₁MC₁，∴DE∥C₁N，
∵D为CC₁的中点，∴E是CN的中点，…（5分）
∴$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$．…（6分）
（3）解：连结B₁M，…（7分）
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，即四边形ABB₁A₁为矩形，且AB=2AA₁，
∵M是AB的中点，∴B₁M⊥A₁M，
又A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁⊥B₁M，从而B₁M⊥平面A₁MC₁，…（9分）
∴MC₁是B₁C₁在平面A₁MC₁内的射影，
∴B₁C₁与平面A₁MC₁所成的角为∠B₁C₁M，
又B₁C₁∥BC，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成的角即B₁C₁与平面A₁MC₁所成的角…（10分）
设AB=2AA₁=2，且三角形A₁MC₁是等腰三角形
∴A₁M=$\sqrt{2}$，则MC₁=2，B₁C₁=$\sqrt{6}$
∴cos∠B₁C₁M=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．